【驚愕】すごく嘘をつく娘→電話で娘の学校の先生『娘さんが問題を起こしました』私「えぇー！なんですって！？」→結果

流れ切ってすみません
お子さんの嘘に悩んでる方、解決した方にアドバイスいただきたいです
3年の娘がすごく嘘をつきます。あまり問い詰めると更に嘘をつくようになるという話ですから、人に迷惑を掛けないものなら、指摘はしても叱りつけたりはしないようにしていました。
しかし先日、クラスメイトの鉛筆を自分のものだと言い張ったことが発覚。先生は確信があったそうで、何度も繰り返し場所や時間、聞き方を変えて聞いてくれて、やっと白状したとのことでした。
その間、ずっと、私の鉛筆だと言い張り、「どうして信じてくれないの？」と涙を流したと…先生も自分が見間違えたのかと思うほど、真実味があったそうです。
我が子ながらゾッとしてしまって…
実はうちは母子家庭で、原因は元夫の不倫借金です。それはそれは嘘ばかりの人でした。
娘が嘘をつく度に、元夫の姿を重ねてしまい…それはダメだとわかってはいるのですが
昨年元夫が再婚し、それまでしていた面会もなくなり、寂しさもあるのだとは思います。
でもここで嘘つきになってしまっては、もっと孤独になってしまう。
娘も辛いでしょうが、私も辛いです。